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一个簇中所有数据的均值μ(j),通常被称为这个簇的“质心(centroids)”,j表示第j个簇。在二维平面中,质心的坐标是该簇数据点坐标均值的合成。同理可推广至高维空间。
m为一个簇中样本的个数,j是每个样本的编号。这个公式被称为簇内平方和(cluster Sum of Square),又叫做 Inertia。将所有簇的簇内平方和相加得到Total Inertia。Total Inertia越小,数据聚类效果越好。
KMeans追求的是使Inertia最小化的质心。质心不断迭代更新时,Total Inertia逐渐减小。当Total Inertia达到最小值时,质心不再改变。这就将KMeans的求解过程转化为一个优化问题。
质心的计算方法是对每个簇的数据点坐标分别求均值。例如,在二维平面中,质心的横坐标是该簇数据点横坐标的均值,纵坐标是纵坐标的均值。
def cal_Cmass(data): '''输入:数据样本 ndarray 输出:质心坐标 ndarray ''' return np.mean(data, axis=0)
例如,计算质心:
cmass = cal_Cmass([[8,8,8], [7,7,7], [9,9,9]]) # 返回值: [8. 8. 8.]
import numpy as np def distance(x, y, p=2): '''输入:x(ndarray) - 第一个样本坐标 y(ndarray) - 第二个样本坐标 p(int):1为曼哈顿距离,2为欧氏距离 输出:距离 float ''' dis2 = np.sum(np.abs(x - y) ** p) dis = np.power(dis2, 1/p) return dis
计算两点间距离的方法如下:
def sorted_list(data, Cmass): '''输入:data(ndarray) - 数据样本 Cmass(ndarray) - 数据样本质心 输出:距离列表 sorted_list(list) - 排序后的样本到质心的距离 ''' dis_list = [] for i in range(len(data)): dis_list.append(distance(Cmass, data[i][:])) dis_list = sorted(dis_list) return dis_list
例如,计算各样本到质心的距离并排序:
list = sorted_list([[8,8,8],[7,7,7],[9,9,9]], cmass) # 返回值: [0.0, 1.7320508075688772, 1.7320508075688772]
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